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　　不管是古代数学史还是近现代数学史，沈奇皆有着一定的研究经历。
　　高二时期在省奥数队集训时，古巴比伦数学将沈奇带入了浩瀚的数学史中，他对数学史的兴趣和研究从那时开始。
　　大凡有点名气的数学家，沈奇都能说出一些和他们相关的轶事，除非那个数学家的日常生活乏善可陈。
　　近现代数学史上，沈奇从未听说过托尼·曼宁这个人物，他很有兴趣了解一下。
　　“人与人如此之近，灵魂却相距甚远。”穆勒教授唏嘘的感慨了一句，以一种黑白纪录片的沧桑语调回忆了他和托尼·曼宁之间的新泽西往事。
　　上世纪七八十年代，穆勒在普林斯顿追随恩师哥德尔，陪伴数学大师哥德尔度过了生命中的最后一段时光。
　　据穆勒回忆，这是他最为重要的一段时期，是他的学术成熟期、定型期。
　　除了学术上的成绩，穆勒在那段时间还收获了爱情和友谊。
　　穆勒坠入了爱河，他爱上了一位美国姑娘。
　　美国姑娘善良、性感、热情、漂亮，是一家俱乐部的舞娘，她也爱穆勒，两人的爱情迅速升温，认识三个月之后便步入婚姻的殿堂。
　　与此同时，穆勒结识了他学术上的重要合作伙伴托尼·曼宁，一位肌肉发达的美国年轻人。
　　两位年轻的数学研究者在学术思想上高度一致，可谓英雄惜英雄，两人成功合作了不少项目，托尼·曼宁一度被提名为“麦克阿瑟天才奖”候选人，这个奖项只颁给美国本土的科学天才。
　　但托尼·曼宁有一个不良的嗜好，他喜欢赌博，常去不远的大西洋城碰运气。
　　精通数学的托尼·曼宁运气不错，别人十赌九输，他十赌九赢。
　　而且曼宁能控制住欲望，每次到手一两千美元甚至几百美元，他就离开赌场，然后花天酒地一番好不快活。
　　即便再小心，意外还是发生了。
　　有一次托尼·曼宁失手了，他没能压制住魔鬼般的冲动，赌大了，一夜之间输光了全部积蓄并欠下高达15万美元的债务。
　　高利贷以日息计算，黑涩会的钱到期不还，后果将非常严重。
　　无力偿还的托尼·曼宁往左轮手枪的弹夹中填入子弹，准备一了百了见上帝。
　　是穆勒救了曼宁一命，穆勒帮曼宁还清了债务。
　　为此穆勒花光了所有的钱，并卖掉了他两部限量版老爷车中的一部。
　　曼宁无以为报，发誓将以生命和信仰报达穆勒的救命之恩。
　　“穆勒—曼宁定理”就是在这个时期提出的，曼宁在定理的猜想和证明中起到了一定作用，表现的异常积极。
　　再然后穆勒去欧洲出了趟差，因会议开到一半临时取消，穆勒提前返回美国。
　　打开家门，穆勒发现自己的太太和曼宁在客厅中上演激情戏，激情到沙发抱枕都被扯烂了……
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　　“屋子里弥漫着肮脏到令人窒息的味道，我当时就想杀了他俩，然后自杀。”几十年过去了，穆勒依然耿耿于怀：“但我最终没有杀人，我离开美国回到德国，在波恩大学找了份新工作。”
　　“混蛋，曼宁这个遭天杀的混蛋！忘恩负义的超级人渣，他必须下地狱！”沈奇气愤的猛捶桌面，明白了，这段数学史搞明白了。
　　富裕又讲义气的德国中产阶级学者，养了只吃喝嫖赌样样精通的美国白眼狼。
　　总结就是，我穆勒把你曼宁当兄弟，帮你偿还赌债，使你避免被黑涩会绑起来丢大西洋喂鱼的悲惨命运，你曼宁却睡我的老婆，撕烂我家的沙发抱枕。
　　回到德国的穆勒找了位离异的德国女会计，两人结婚，都是二婚。
　　“我现在的太太很好很温柔，所以过去的事情，就让它过去吧。”穆勒以一种悲愤的心情讲述完那段刺激历史后，恢复了平常的心态。
　　“听到这些我表示遗憾，穆勒教授。”沈奇心疼穆勒教授，同时也感激穆勒教授跟他分享这段刻骨铭心到想自杀的往事。
　　这说明穆勒教授没有把沈奇当外人，被最好的兄弟给绿了这种事情，需要极大勇气讲出口，也只会讲给心腹听。
　　“沈奇，你千万不要沾上赌博，否则我不会承认我是你的导师。”穆勒严肃的告诫沈奇。
　　“我对任何形式的赌博，都没有任何一丝的兴趣。放心，我这辈子绝对不碰这玩意。”沈奇郑重说到。
　　穆勒欣慰的点点头：“好孩子，接下来让我们具体探讨‘穆勒—沈定理’的重新证明工作吧。”
　　“好的，现在就开始吧。”
　　严格来说，“穆勒—沈定理”现阶段只能称为“穆勒—沈假设”。
　　任何人皆有权利提出任何形式的假设或猜想，并发布在世界上最大的公开网站上。
　　“我预测，距离地球328万光年之外的行星上，一定存在生命，他们拥有和人类相似的身体构造及文明形态，我们可以成为朋友。”
　　这就是一个猜想，由美国俄亥俄州的一位13岁中学生提出，发布在他老妈的推特上，吸引了不少粉丝围观点赞。
　　如果科学家拿不出有力证据否定中学生的猜想，那这个猜想将一直存在，直到它被证明或被推翻。
　　只不过科学家们不会去重视一位中学生的猜想，这种猜想没有任何学术价值，也难以用现阶段的实验设备去验证。
　　对于无名之辈提出的天马行空、看似荒谬、毫无价值、无法用现有理论或设备验证的猜想，科学家们的态度大多是：你可以随便提猜想，我认真算我输。
　　对于知名学者提出的具有专业性、有逻辑支撑、有学术价值、理论上在现阶段可验证的猜想或假设，科学家们往往会引起重视，并实施验证。
　　“穆勒—曼宁定理”具备专业性、逻辑性和一定学术价值，最早由穆勒和曼宁联合提出。
　　在沈奇看来，“穆勒—曼宁定理”的三条论断在理论上是成立的，之所以三十几年来未被IMU所认可，是因为证明部分存在漏洞。
　　穆勒、曼宁、穆勒前妻之间发生了那种刺激的事情，三十几年来穆勒和曼宁再未见过面。
　　因此“穆勒—曼宁定理”的修订工作中断了，跨了个世纪，一拖就拖到了21世纪。
　　已故的曼宁被穆勒拉进了黑名单，现在由沈奇顶替曼宁的位置，完成后续的工作。
　　“穆勒—沈定理”一字不差的沿用了“穆勒—曼宁定理”的三条论断，最核心的工作是运用21世纪的数学方法完成严谨的证明。
　　三十多年过去了，数学在进步，经典理论依旧经典，具体的处理方法在更新换代。
　　经过一周的讨论，沈奇认为应该重新定义逼近紧。
　　这是前提，是基础，是武器。
　　穆勒赞同沈奇的思路设定，他似乎找回了当年埋头做学问时的激情。
　　“回忆逼近紧的历史和相关定义，这个定义首先由杰费莫夫提出，作为巴拿赫空间的一个性质可以保证任意的x∈X，都在非空闭凸集中有一个最佳逼近元素。”沈奇找了一推文献，做专业课题的同时也更加深入细致的梳理数学史。
　　沈奇一直想写一部数学史，他认为这是十分有意义的一件事情。
　　但迫于水平有限、沉淀不够，沈奇目前尚在构思、学习、积累阶段。
　　相比于五花八门海量的专业数学教科书，和数学史相关的书籍太少了，真正经典的数学史参考书籍，一巴掌都数的过来。
　　业内公认最经典的数学史是美国人克莱因编写的《古今数学思想》，沈奇承认这套数学史的学术地位。
　　但是克莱因写的这套数学史，不适合数学专业人士之外的人群阅读，书中大部分内容是高深的数学专业理论，成绩不好的数学系学生也有可能看不懂。
　　沈奇的雄心壮志是写一部既有深度又通俗易懂，并富有趣味性的数学史。
　　高考数学100分以上（满分按150分算）的中国人，应该能看懂沈氏数学史一半的内容。
　　大学高数没挂过的人，应该能看懂沈氏数学史九成的内容。
　　即便完全不懂数学，只要认得字，也应该能看懂沈氏数学史五分之一的内容。
　　这是沈奇对一部能广泛流传的数学史的设定，他希望可以完成这件有意义的事情。
　　“没错，我记得在70年代末80年代初，梅格尼森证明了X是中点局部一致凸，当且仅当X的闭球是逼近紧的切比雪夫集。”穆勒教授将沈奇从历史中拉回现实。
　　“正是在那个时期，穆勒教授你证明了如果C是逼近紧集，则投影算子是上半连续的。”沈奇说到。
　　“是的，这大概是我当时所做唯一有价值的事情。但没有什么用，其他的论述无法有效衔接，所以IMU一直没有承认我在1982年提出的定理。”穆勒在六十多岁的时候，总结了自己三十多岁时的表现，总而言之就是年轻人没经验吧。
　　“所以基于穆勒教授的这个证明，我大胆提出新的定义，请看……”沈奇将一张白纸递给穆勒。
　　穆勒看过沈奇的手稿后，非常肯定的说了一句话：“我认为IMU将在三个月之内承认‘穆勒—沈定理’。”
　　“或许应该叫‘沈—穆勒定理’，沈奇你做出的贡献更大。”穆勒教授补充说到。


第246章　导修课
　　研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。
　　赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。
　　作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。
　　内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。
　　所以，沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下：
　　“巴拿赫空间X的一个非空子集C称为逼近紧的，是指对任意｛xn｝∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得
　　‖xn…y‖→dist（y，C）=inf｛‖xn…y‖：x∈C｝，
　　那么｛xn｝∞n=1就存在一个柯西列，称X是逼近紧的，且X的每个闭凸子集是逼近紧。”
　　“思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间X是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。
　　巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。
　　“没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅，聪明人不废话，数学家不啰嗦。
　　“需要我做什么？”穆勒教授问到，并没有摆出教授及导师的架子，他视沈奇为平等的学术合作伙伴，就如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。
　　在学术上平等对待徒弟的师傅，往往能跟弟子一同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯，他在数学史上的声望评价为负分。
　　沈奇说到：“巴拿赫空间的RNP性质和鞅理论分析就拜托穆勒教授了，你是这方面的专家。”
　　“OK，那我们还等什么？分头干活吧，争取一个月之后合稿。”穆勒教授亲力亲为，这毕竟是他最先提出来的一个定理，他要亲手完成这项跨越三十几个春秋、渗透复杂感情的课题。
　　“OK。”沈奇收拾好资料，准备离开穆勒的办公室，去完成人生中第一个以自己姓氏命名的数学定理。
　　“对了，明天你去带导修课，这是我的教案备份和学生信息，你熟悉一下。”穆勒递给沈奇一个又厚又重的文件袋。
　　“看来穆勒教授的一百二十美元并不容易赚到。”沈奇笑了笑，接过文件袋这便离开。
　　晚上和第二天上午，沈奇开始编写“穆勒—沈定理”他负责的证明部分。
　　沈奇坚持将自己的姓氏放在后面，以体现对导师的尊重。
　　一整个下午，沈奇仔细研究穆勒关于非欧几何的教案，这是他的工作的一部分，他是穆勒的助教之一。
　　穆勒在这个学期负责普大数学系本科生的一门课程，非欧几何。
　　授课有两种形式，大课以及导修课。
　　大课通常安排在能容纳一百多名学生的大教室中进行，主讲人是教授。
　　前美国总统伍德罗·威尔逊在普大当校长时，新增了一个“preceptorial”课程，即导修课，那时是1905年，这门课程一直延续到今天。
　　导修课实行小班制，通常由助教负责，一个导修班有10…12名学生，最多不超过15名学生。
　　在导修班上，助教带领本科生们复习最近一周的学业，数学系的导修课大多由解题和讨论构成。
　　普林斯顿非常重视本科生教育，本科生们上完大课还得上导修课，每一门核心专业课程都设置导修课。
　　普大本科生的学业繁重，门门功课拿到A，还能泡到妹子或帅哥，又能兼顾社团活动及体育运动，那他或她一定是最优秀的少数派精英。
　　晚上8点，沈奇抵达小教室，这是他作为助教第一次负责导修课。
　　一堂导修课一般持续2个小时左右，沈奇能领到120美元的酬劳。
　　时薪60美元在美国不算低，毕竟沈奇从事的是专业素质较高的脑力劳动。
　　除了导修课的课时费之外，沈奇也有固定工资，一个月的收入有几千美金，跟外面的白领差不多。
　　“先生们晚上好，我是沈奇，来自中国，你们的导修课负责人。你们可以叫我沈，或者奇，或者沈奇。来，跟着我念，湿衣嗯沈，妻衣奇，沈~奇~”沈奇对教室中的12位本科二年级学生说到，并在黑板上写出他的名字“Shen　Qi”。
　　“Sion~Ki~”十二位二年级学生皆是男生，平均年龄20岁，比沈奇小一点点。
　　“Key，你可真年轻，你是我见过最年轻的助教。”
　　“嘿，Key，你已经获得PhD了吗？”
　　“Key，我猜你是双鱼座。”
　　小师弟们对沈奇的年龄、身份很感兴趣，这么年轻的导修课负责人从没见过呀。
　　“Shen”对于歪果仁来说较难掌握标准发音，于是师弟们管沈奇叫“Qi”。
　　因为发音习惯，念着念着，“Qi”就被师弟们念成了“Ki”，跟“钥匙”这个单词的发音一致。在美国英语里，key不发长音，音标就是【ki】。
　　“实际上我正在读博，至于我的年龄，保密。而我的星座，同样保密。”沈奇笑道，这些年轻人朝气蓬勃，充满热情，好奇而兴奋，让他想起了自己的青春岁月。
　　“你们回答正确一个问题，我就解锁我的一个秘密。”沈奇说到。
　　“来吧来吧，Key，两小时后你走出教室时，将再无秘密可言。”一位白人学生自信满满的说到，他有着强烈的探知欲。
　　“虽然是非欧几何的导修课，但我在开始非欧几何的辅导之前，会问几个数学史的问题。我始终认为了解数学史，才能学好数学。”沈奇说到，“我通过花名册已经记住了十二位帅哥的名字，接下来我将逐一点名，我想认识你们中的每一位。”
　　“斯蒂芬·科里，你昨天进了几个三分球？”沈奇锁定几位白人男生，他觉得斯蒂芬·科里应该在几人之中产生。
　　“很遗憾，我打的位置是中锋。”一位身高一米八左右的白人男生举了举手，示意自己就是斯蒂芬·科里，这个名字和NBA球星斯蒂芬·库里的发音一模一样，唯一不同的是拼写方法。
　　“好吧，我们的强力内线斯蒂芬，请告诉我，是谁将欧洲数学从中世纪漫长的黑暗中解救出来的？”沈奇问到。
　　“毫无疑问，这位救世主是卡丹。”斯蒂芬不假思索的回答到，然后立马询问：“Key，请告诉我，你的年龄是？如果你比我的年龄更小，我将无法接受这个现实！”
　　“我和斐波那契同年。”沈奇在黑板上写下一行信息，莱昂纳多·斐波那契，1175…1250。
　　“No　Way！”斯蒂芬作出夸张的样子，他当然知道沈奇不可能和斐波那契同年，他也意识到自己的第一个问题回答错了，是斐波那契拯救了欧洲数学而不是卡丹。


第247章　非欧几何
　　意大利人斐波那契的数学水平是大师级，他的翻译水平是大师＋。
　　意大利所处的地中海腹地连通欧亚非，全世界的商品和知识在此交融。
　　精通多种语言的斐波那契是威尼斯商人的儿子，他翻译了埃及、阿拉伯、印度、中国的数学文献，并融会贯通形成欧洲文艺复兴版的数学大百科。
　　欧洲数学因此复活，随后的几百年之内欧洲数学天才辈出，数学进入了最鼎盛的黄金年代，其深远影响一直持续至今。
　　“接下来我将认识卢卡·菲尔比诺蒂。”沈奇锁定一位深色卷发、浓眉大眼的白人男生，资料显示，卢卡·菲尔比诺蒂是一位意大利留学生，教室中具备南欧人外貌特征的只有这位男生。
　　深色卷发、浓眉大眼的男生举手示意他就是卢卡·菲尔比诺蒂。
　　沈奇问到：“卢卡，