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　　即便是之前Bertrand　假设已经被人证明过一次，可另一种更加简便的证明方法，也确实有实力得到这种待遇。


第三百五十八章　难题

　　358章
　　二十分钟的论文讲述时间。
　　程诺不急不缓的将自己所著毕业论文的核心内容讲述给四位答辩组老师。
　　四人也是听得频频点头。
　　无论从哪个方面来讲，程诺这个环节的表现都足以用无可挑剔来形容。
　　“……以上，就是我这次关于论文的陈述。”
　　卡着时间，程诺在最后十几秒收尾。
　　台下四位答辩组老师也是瞬间坐正，面色严肃，准备此次答辩的最后一个环节：答辩老师提问。
　　这是答辩三个环节中最重要的一个环节，也是被无数毕业生称之为“鬼门关”的存在。
　　一个个异常刁难的问题想连珠炮一样不停的抛向你，而你，还不得不鼓起精神去微笑着面对。
　　尤其是那种听着都一脸懵逼的问题，简直是让人想要回答，都不知道如何开口。
　　毕业答辩的提问环节有两种形式。
　　一种是导师把会提问的问题在一张纸条上写好，而每个问题，考生有大概五到十分钟的准备时间。
　　准备完毕后，再进行作答。
　　而另一种形式，则是更加考验学生的学术水平。
　　那就是答辩组老师当场提问，学生当场作答，没有任何，哪怕一分钟的准备时间。
　　这种形式对于参加答辩的学生无疑是异常残忍的，不过却最能有效的检验出他们本科四年的学习成果。
　　但考虑到毕业率的问题，清华数院的答辩提问环节，一半是两种提问形式混合。
　　两个提问题目留给学生准备措辞时间。
　　另外两个题目则完全考验学生的临场发挥。
　　前几天，报过今天的前几个学生参加答辩时，他们都是这么安排的。
　　但，对于程诺，这个妖孽天才，显然要区别对待。
　　如果留给程诺准备时间的话，这样太对不起程诺天才的名头。
　　于是由魏院长提议，四人一致决定，程诺的答辩提问环节的提问形式全部为现场直接作答。
　　“程诺同学，你准备好了吗？”魏院长望着答辩席上的程诺，嘴角噙着淡淡的笑意问道。
　　程诺深呼一口气，“准备好了！”
　　该来的总是要来的。
　　况且，有方教授和魏院长在这，程诺猜测，问题的难度水平，恐怕会很高！
　　“那就由我来问第一个问题吧！”程诺没想到，第一个发难的竟然是方教授。
　　方教授坐在答辩组老师席位上，笑呵呵的开口，“程诺同学，你没意见吧？”
　　“没，没。”程诺苦笑着摆手。
　　方教授点点头，一边翻着手边程诺的那篇论文，一边开口问道，“你论文第15页中得出的推论10，具体的推理步骤过于简略，你能当场用具体的公式再证明一遍吗？”
　　推论10的具体证明方法？这个简单！
　　果然还是亲老师比较靠谱，第一个问题，没有太过于刁难自己。
　　程诺淡淡一笑，轻轻颔首，“没问题。”
　　说完，程诺拿起讲台上的一根粉笔，在黑板上空白的一侧开始奋笔疾书。
　　这不是讲课，不需要边写边讲。
　　程诺只需要将推论10的详细推导步骤写出来即可。
　　这对程诺丝毫不成问题。
　　虽然推论10是一个在Bertrand　假设的证明中被“抛弃”掉的一个推论，但具体的证明步骤程诺依旧是详记于心。
　　【因为　n　≥　3　及　2n/3　&；lt；　p　≤　n　表明　p2　&；gt；　2n，因此求和公式中只有　i　=　1　一项，即：　s　=　floor（2n/p）…　2floor（n/p）。由于　2n/3　&；lt；　p　≤　n　还表明　1　≤　n/p　&；lt；　3/2，因此　s　=　floor（2n/p）…　2floor（n/p）……】
　　【……θ（n）≡Σp≤n　log（p）&；lt；　n　log4，……综上，可得可得Πp≤N　p　=（Πp≤m＋1　p）（Πm＋1&；lt；p≤2m＋1　p）&；lt；　4m＋1　4m　=　42m＋1　=　4N。】
　　搞定！
　　程诺转身，本想帅气将粉笔头扔回粉笔盒，不过一想这是毕业答辩现场，就讪讪的把抬起的手收回去，尴尬的站在一旁。
　　台下，四位答辩老师盯着程诺写满的半块黑板差不多一分钟。
　　以他们的数学能力，想要迅速看懂并理解程诺写下的公式并不困难，况且，他们本身对程诺论文的内容就有一定程度的了解。
　　方教授笑呵呵开口，“不错，我很满意。”
　　问完一个问题，方教授没有再揪着程诺不放，满意的点点头后，便不再说话。
　　下面提问的是答辩组的另外两位教授。
　　提出的问题都被程诺轻松的回答。
　　不是他们的问题难度不够大，而是程诺这个家伙太变态。
　　其实他们提问的两道题目，即使让数院这一届毕业的几位尖子生来回答，也会棘手的不行。
　　可他们面对的是程诺，一个远超过他们认知天才的学生。
　　那种难度的题目，程诺一路砍瓜切菜就能横趟过去。
　　但是轻松搞定前三问的程诺脸上并没有露出太过欣喜的表情，因为他知道，他这次毕业答辩的最大难关，还没出现。
　　那可是魏院长啊，既然他肯亲自下场参加答辩，绝对不只是为了想瞧一瞧程诺如何在答辩现场装逼而来。
　　前三问，只是开胃菜，最后一问，才是最后的终极大BOSS！
　　轮到魏院长提问，他目光平视着望着不远处的程诺，像是小说反派出场似桀桀一笑。
　　程诺的额头瞬间乍起了数道冷汗。
　　魏院长不急不慌的从一旁的公文包掏出一份文件，将其放在桌上，指着它，笑着问道，“程诺同学，知道这是什么吗？”
　　程诺摇头，“学生不知。”
　　魏院长对程诺招招手，待程诺走到近前，将文件夹递给程诺，“拿去看看。”
　　程诺一脸狐疑的接过，将其打开。
　　在看到文件的标题时，瞳孔猛地缩了一下。
　　然后，他急匆匆的翻开第一页，脸色再次变了变。
　　魏院长语气不急不缓的笑呵呵开口，“那天拿到你的论文后，我倒是也对Bertrand　假设的证明法产生了一点兴趣。”
　　“呶，你手中拿着的那篇论文，就是我用三天时间写出来的另一种Bertrand　假设证明法。”
　　嘶——！
　　不只是程诺，另外三位教授也是倒吸一口凉气。
　　“不要那么惊讶，我还没说完呢！”魏院长笑骂了一句，“这篇论文，呃，怎么说呢，算是一个失败品，因为我写完才发现，论文中有一处部分存在逻辑错误。”
　　魏院长面色一正，“而程诺同学，我给你的测验就是，半个小时之内，将这片论文存在的逻辑错误之处找到。”
　　“当然，如果你还能改正这处逻辑错误，使整篇论文逻辑通顺，这次的毕业答辩，我直接给你满分！”


第三百五十九章　我已经搞定了！

　　359章
　　魏院长笑吟吟的话语一出，程诺的神色不由变了变。
　　一篇论证逻辑错误的论文？
　　让自己在半小时之内找到其中存在的数学语言逻辑错误？
　　程诺皱着眉头思考，思考魏院长出的这个考验的难度。
　　不过，在没有通读整篇论文之前，他很难给出一个准确的定论。
　　究竟能不能完成，即便自信如他，都要打一个大大的问号！
　　但，此刻，他没有“拒绝”这个选项！
　　面对着魏院长笑意盎然的面庞，程诺重重点头，“好，可以。”
　　魏院长眯眯眼，指着答辩教室后排的一个座位，“你先在那答题吧，我们继续面试其他答辩的学生。”
　　半个小时的时间，四个老师当然不可能在这干坐着等程诺作答完毕。
　　正好趁着这段时间，可以面试完一两位答辩毕业生。
　　魏院长倒也不担心程诺会借助手机在网上搜索资料。
　　这篇论文本就由他本人撰写，由于是费稿，根本没有再任何平台上发表过。
　　至于该论文中存在的那处逻辑错误，就更不可能通过非正常手段得知。
　　一切，都只能靠程诺自己。
　　这也算是对程诺数学水平的究极考验。
　　虽然说即便最后程诺没有成功完成作答，魏院长也不肯能不发给程诺毕业证，但是，程诺在他心中的分量绝对会大打折扣。
　　关于后续科研资源分配上，也会进行重新调整。
　　程诺拿着魏院长那篇厚厚的论文，来到答辩教室后排的一个座位上。
　　座位的抽屉洞里，有一摞的草稿纸和碳素笔之类的各种文具。
　　看来这是魏院长早有预谋啊！
　　程诺苦笑一下，这个套无论自己之前知不知道，都只能无奈的往里面跳啊！
　　论文总共34页，比程诺上交的论文少上几页。
　　论文题目和论文证题也和程诺一模一样，都是证明Bertrand　假设。
　　唯一区别的，是程诺所述的证明方法为一种正确合理可行的证明方案。
　　而魏院长的，则是一种错误的证明方案。
　　哈哈哈！
　　这样想的话，确实是好受多了！
　　程诺心头那被魏院长算计的阴霾一扫而空。
　　他活动活动手指，揉了揉之前一直维持微笑导致有些发僵的脸蛋，低下头，开始浏览起魏院长的论文。
　　聚精会神的他，一点点将论文中的内容嚼碎。
　　就连前面四位老师和答辩毕业生交流，他都没有察觉。
　　虽然魏院长的此篇论文和程诺的毕业论文选择的证题相同，但具体的证明步骤却是千差万别。
　　程诺和上世纪伟大的数学家切尔雪夫在证明Bertrand　假设时，都是采用引理代入推导的方法。
　　但在魏院长的这篇论文中，他却另辟蹊径，采取了一种截然不同的证明思路。
　　Euler　乘积公式引入法！
　　程诺暂且用这么名字命名。
　　在论文中，魏院长从证明过程的一开始，就引入Euler　乘积公式这个概念，随后通过Euler　乘积公式和Bertrand　假设的数学逻辑关系，进行命题推导。
　　何谓Euler　乘积公式？
　　这是数学家日耳曼提出的关于复数分布的起点之一，具体内容为：对任意复数　s，若　Re（s）&；gt；1，则：Σn　n…s　=Πp（1…p…s）…1。
　　这是一个相当冷门的数学公式，在现在数学学术研究中几乎很难用到。
　　没想到，魏院长会突发奇想，用它作为证明Bertrand　假设的另一切入点，果然不愧为曾经的华国数学界的大牛。只不过，结果似乎并不完美。
　　用了十多分钟的时间，程诺看完了整篇论文。
　　当然，这指的不是程诺读完了文件那完整34页的内容。
　　和程诺提交的毕业论文一样，真正算是真材实料的，只有那五六页的内容罢了。
　　读完之后，程诺对魏院长的证明思路也算是了解。
　　首先，他设　f（n）为满足　f（n1）f（n2）=　f（n1n2），且Σn｜f（n）｜&；lt；∞的函数（n1、　n2　均为自然数），则可顺利推导出：Σnf（n）=Πp【1＋f（p）＋f（p2）＋f（p3）＋。。。】。
　　得出上面那一串的推导定理后，算是完成了证明的第一步。
　　下面，由于Σn｜f（n）｜&；lt；∞，因此　1＋f（p）＋f（p2）＋f（p3）＋。。。绝对收敛。考虑连乘积中　p　&；lt；　N　的部分（有限乘积）………利用　f（n）的乘积性质可得：Πp&；lt；N【1＋f（p）＋f（p2）＋f（p3）＋。。。】=Σ“f（n）。
　　第三步，由于　1＋f（p）＋f（p2）＋f（p3）＋。。。=　1＋f（p）＋f（p）2＋f（p）3＋。。。=【1…f（p）】…1……
　　第四步，……
　　…………
　　最后一步，由（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3　ps（p）。将连乘分解为　p　≤√2n　及√2n　&；lt；　p　≤　2n/3　两部分……由此，得证Bertrand　假设成立。
　　一步接一步，逻辑严密。
　　思路清奇，但似乎却在常理之中。
　　读完第一遍，程诺并未找出论文中存在的任何瑕疵。
　　程诺眉头轻皱一下。
　　果然，事情没有那么简单。
　　程诺没有时间再去通读检查一遍，他先是排除了论文中逻辑推导简单的部分，直接忽略不看。
　　如果那个逻辑错误真的出现在那种低级的逻辑推导步骤上，魏院长根本不可能还将其当做程诺的论文答辩题目。
　　因为，那样太丢人。
　　论文中存在庞大运算量和缜密推导步骤的地方一共五处。
　　程诺逐一排查。
　　“第一处，Euler　乘积公式右端求和和普通有限积的推理，首先，将等式右端所有含有因子　2　的　f（n）项都消去，然后……”
　　“第二处，素数的分布以及二步精确，……”
　　…………
　　“第四处，f（n）的性质的代入，f（2）Σnf（n）=　f（2）＋f（4）＋f（6）＋。。。”
　　忽然，看到这一部分内容的程诺，目光陡然一凝。
　　他盯着一行公式，左瞧瞧，右瞅瞅，然后嘴角浮现一抹淡淡的笑容。
　　我，找找到你了！
　　程诺拿起碳素笔，在草稿纸上写写画画一阵后，随后重重的在论文的那行公式下划了一条横线。
　　横线上的公式：Πp【1…f（p）】Σnf（n）=　f（1）=　1，（2n）！/（n！n！）=Πp≤√2n　ps（p），Σnf（n）=Πp【1…f（p）】…1
　　就是这里，没错了。
　　第三个公式和前两个公式只见的逻辑关系，存在一种习惯性的错误。
　　这三个公式，也算是整篇论文证明过程中几个核心公式之一，也因此，公式的错误，导致整篇论文成为一篇费稿。
　　程诺此时的心情无比好。
　　因为他不仅找到了魏院长要求的那处逻辑错误，并且，脑海里已经计算出合理纠正方案！
　　抬头一看，四位老师面前的答辩席上没人。
　　程诺拿起论文，昂首阔步的走上讲台。
　　然后，在四位老师微微错愕的目光中，淡淡一笑，“老师，我已经搞定了！”


第三百六十章　满分

　　360章
　　“程诺同学，请开始你的表演！”
　　台下，魏院长示意程诺可以开始了表演。
　　程诺深吸一口气，不急不慢的语气开口，“魏院长给我的这篇论文的论证思路，是通过运用Euler　乘积公式，进行Bertrand　假设的证明。”
　　程诺估计其他三位教授并没有事先读过魏院长的这篇论文，所以程诺简单将魏院长在论文中阐述的思路简单的讲述了一遍。
　　“而魏院长要求寻找的那处逻辑错误，我也已经找到。”
　　“几位老师可以翻到论文的第二十一页，从上往下数第十二行的那串公式，就是本篇论文中的那处逻辑错误所在。魏院长，不知道学生说的对不对？”程诺语气带着淡淡的自信。
　　魏院长笑呵呵的点头，捋了捋那并不存在的胡须，“回答的没错。程诺同学，把你的理由和大家说下吧！”
　　程诺自然应允。
　　他在黑板上写下那一行的三个公式：Πp【1…f（p）】Σnf（n）=　f（1）=　1，（2n）！/（n！n！）=Πp≤√2n　ps（p），Σnf（n）=Πp【1…f（p）】…1。
　　随后沉默几秒，等台下几位老师都扫完之后，再次开口，“从本篇论文中的公式③和公式？中，轻松的课题推导出第一个公式，这一点没有任何问题。而第二个公式，也可以由定理⑤和公式⑧、公式？经过五次运算得出。”
　　“关键的是，第三个公式。从后面Bertrand　假设的论文过程来看，这个公式应该算是本篇论文的核心公式之一。该公式的正确与否，直接关乎着整篇论文是否合理。但是，经过我的计算后发现，第三个公式并非是一个正确的公式。”
　　“或者说，从之前论文中所述的公式中，并不能通过推导得到第三个公式。我推测，魏院长之所以会将这个公式摆在这里，估计是把有限积的推导求和公式误以为了是等式两端有限积求和的相加。”
　　“哈哈哈，厉害啊，程诺同学！”魏院长已经忍不住鼓掌。
　　程诺说的没错。
　　当时由于过于赶时间，就没有特意去琢磨这个问题，导致这一步公式推导错误。
　　而结果，也是导致整篇论文成为一篇费稿，白白浪费了三天时间。
　　还好，魏院长直接废物利用，把他当做给程诺出的考题，顺便检测一下程诺的水准。
　　而程诺交出的答卷，截止到目前，魏院长还算比较满意。
　　见程诺已经找出他要求的那处逻辑错误，旋即迫不及待的问出那个最想问的问题，“那程诺同学，针对这处逻辑错误，你有纠正的方案吗？”
　　这是魏院长最想知道的。
　　讲实话，这个纠错方案魏院长是到现在还没有想到，否则也不会将三天的心血化为一篇费稿。
　　而程诺，或许会给他一个惊喜也说不定。
　　这和数学水平没有太大的关系，考验的是，那一瞬间存在脑海的灵感。
　　面对魏院长的提问，程诺淡淡一笑，“这个当然。”
　　说完，程诺扭头，在黑板上边写边说。
　　“在这里，我们可以借鉴Riemann　ζ函数零点